Topologischer Raum/Garben/Morphismen/Garbe/Fakt/Beweis

Beweis

Da ein Garbenmorphismus

eine Abbildung

für jede offene Teilmenge beinhaltet, gibt es unmittelbar eine Einschränkung

Das bedeutet, dass

eine Prägarbe ist. Zum Nachweis der Garbeneigenschaften sei

eine offene Überdeckung. Es seien

Garbenmorphismen derart, dass die Einschränkungen

übereinstimmen. Es sei mit den Einschränkungen . Es ist dann

Somit stimmen

lokal überein und damit stimmen sie wegen der Garbeneigenschaft auch direkt überein.

Zum Nachweis der zweiten Garbeneigenschaft seien Garbenmorphismen

gegeben, die die Verträglichkeitsbedingung

erfüllen. Es ist die Existenz eines Garbenmorphismus

nachzuweisen, dessen Einschränkungen die vorgegebenen ergibt. Sei hierzu wieder . Sei

Wegen

ist

und somit bilden die eine verträgliche Familie von Schnitten. Daher gibt es eine eindeutig bestimmtes Element mit . Die Festlegung ergibt somit eine Abbildung

deren Einschränkungen die vorgegebenen sind.