Topologischer Raum/Kompakt/R/Algebra/Betrag/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}f$ gegeben. Wegen

${}\vert {f}\vert ={\sqrt {f^{2}}}\,$

genügt es zu zeigen, dass mit einer nichtnegativen Funktion ${}g$ auch deren Quadratwurzel zu ${}T$ gehört. Durch Multiplikation mit einer Konstanten können wir nach Fakt davon ausgehen, dass ${}\vert {g}\vert \leq 1$ ist. Es gibt nach Aufgabe eine Folge von Polynomen ${}P_{n}(t)$, die auf ${}[0,1]$ gleichmäßig gegen ${}{\sqrt {t}}$ konvergiert. Dann konvergiert in ${}C(X,\mathbb {R} )$ auch ${}P_{n}\circ g$ gegen ${}{\sqrt {g}}$, die polynomialen Ausdrücke ${}P_{n}\circ g$ in ${}g$ gehören zu ${}T$ und wegen der Abgeschlossenheit von ${}T$ ist auch ${}{\sqrt {g}}\in T$.

Zur bewiesenen Aussage