Topologischer Raum/Prägarbe/Ausbreitungsraum/Lokaler Homöomorphismus/Fakt/Beweis

Beweis

Wir zeigen zunächst, dass in der Tat durch die Mengen

${}(U,s)={\left\{(x,s_{x})\mid x\in U\right\}}\,$

eine Basis der Topologie vorliegt. Dazu ist zu zeigen, dass der Durchschnitt von zwei solchen Mengen eine Vereinigung von solchen Mengen ist. Es sei also ${}(x,r)\in (U,s)\cap (V,t)$ mit ${}r\in {\mathcal {G}}_{x}$ und ${}s\in {\mathcal {G}}{\left(U\right)}$ bzw. ${}t\in {\mathcal {G}}{\left(V\right)}$. Hierbei gilt ${}x\in U\cap V$. Da ${}s$ und ${}t$ beide auf ${}r$ einschränken, gibt es eine offene Umgebung ${}x\in W\subseteq U\cap V$, auf der ${}s$ und ${}t$ gleich werden. Deshalb gilt

${}(x,r)\in (W,s)\subseteq (U,s)\cap (V,t)\,.$

Die Projektion ${}p$ ist stetig, da das Urbild von ${}U\subseteq X$ offen gleich ${}\bigcup _{s\in \Gamma {\left(U,{\mathcal {G}}\right)}}(U,s)$ ist. Sei ${}(x,r)\in {\mathcal {G}}^{\operatorname {et} }$ ein Punkt des Ausbreitungsraumes. Der Keim wird repräsentiert durch einen Schnitt ${}s\in \Gamma {\left(U,{\mathcal {G}}\right)}$ und somit gilt ${}(x,r)\in (U,s)$. Wir behaupten, dass ${}p\colon (U,s)\rightarrow U$ ein Homöomorphismus ist. Die Surjektivität ergibt sich aus ${}(x,s_{x})\mapsto x$. Wenn ${}(x,r)$ und ${}(x',r')$ zu ${}(U,s)$ gehören und beide auf den gleichen Punkt unter ${}p$ abbilden, so ist zunächst ${}x=x'$ und dann auch ${}r=r'$, da ja beide Keime die Einschränkung von ${}s$ sind. Die Stetigkeit der Umkehrabbildung ergibt sich daraus, dass die offenen Teilmengen von ${}(U,s)$ die Form ${}(U',s{|}_{U'})$ mit offenen Teilmengen ${}U'\subseteq U$ besitzen und deren Bild gleich ${}U'$ ist.

Zur bewiesenen Aussage