Topologischer Raum/Prägarbe/Ausbreitungsraum/Lokaler Homöomorphismus/Fakt/Beweis

Beweis

Wir zeigen zunächst, dass in der Tat durch die Mengen

eine Basis der Topologie vorliegt. Dazu ist zu zeigen, dass der Durchschnitt von zwei solchen Mengen eine Vereinigung von solchen Mengen ist. Es sei also mit und bzw. . Hierbei gilt . Da und beide auf einschränken, gibt es eine offene Umgebung , auf der und gleich werden. Deshalb gilt

Die Projektion ist stetig, da das Urbild von offen gleich ist. Sei ein Punkt des Ausbreitungsraumes. Der Keim wird repräsentiert durch einen Schnitt und somit gilt . Wir behaupten, dass ein Homöomorphismus ist. Die Surjektivität ergibt sich aus . Wenn und zu gehören und beide auf den gleichen Punkt unter abbilden, so ist zunächst und dann auch , da ja beide Keime die Einschränkung von sind. Die Stetigkeit der Umkehrabbildung ergibt sich daraus, dass die offenen Teilmengen von die Form mit offenen Teilmengen besitzen und deren Bild gleich ist.