Topologischer Raum/Punkt/Stetige Funktionen/Keime/Einführung/Aufgabe

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum und ${}P\in X$ ein Punkt. Betrachte die Menge aller Paare

$(U,f){\text{ mit }}P\in U\subseteq X{\text{ offen und }}f:U\longrightarrow \mathbb {R} {\text{ stetig }}$

mit der Identifizierung

${}(U,f)\sim (V,g)\,,$

falls es eine offene Umgebung ${}P\in W\subseteq U\cap V$ mit

${}f{|}_{W}=g{|}_{W}\,$

gibt.

1. Zeige, dass ${}\sim$ eine Äquivalenzrelation ist.
2. Es sei ${}R$ die Menge der Äquivalenzklassen zu ${}\sim$. Zeige, dass es auf ${}R$ eine natürliche Struktur als kommutativer Ring gibt.
3. Zeige, dass ${}R$ ein lokaler Ring ist.

Diesen Ring nennt man den Ring der Keime stetiger Funktionen im Punkt

${}P\in X$.

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