Topologischer Raum/Stetige Funktionen/Lokal beringter Raum/2/Beispiel

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum. Zu jeder offenen Teilmenge ${}U\subseteq X$ ist

${}{\mathcal {C}}{\left(U\right)}=C^{0}(U,\mathbb {R} )={\left\{f:U\rightarrow \mathbb {R} \mid f{\text{ stetig}}\right\}}\,$

ein kommutativer Ring und die Zuordnung ${}U\mapsto {\mathcal {C}}{\left(U\right)}$ ist mit den natürlichen Restriktionsabbildungen eine Garbe, wodurch ${}X$ zu einem beringten Raum wird. Für jeden Punkt ${}x\in X$ und eine in einer offenen Umgebung von ${}x$ definierte stetige Funktion ${}f$ gilt gilt ${}f(x)\neq 0$ genau dann, wenn es eine offene Umgebung gibt, auf der ${}f$ invertierbar ist. Daher sind die Halme ${}{\mathcal {O}}_{x}$ lokale Ringe und ${}X$ ist ein lokal beringter Raum.