Topologischer Raum/Welke Garben/Grundlegende Eigenschaften/Fakt/Beweis

Beweis

1. Sei ${}t\in \Gamma {\left(X,H\right)}$ vorgegeben. Wir verwenden das Lemma von Zorn und betrachten die Menge

   ${}{\mathcal {M}}={\left\{(U,s)\mid U\subseteq X{\text{ offen und }}s\in \Gamma {\left(U,{\mathcal {G}}\right)},\,s\mapsto t{\text{ auf }}U\right\}}\,.$

   Wir führen auf ${}{\mathcal {M}}$ durch ${}(U,s)\preccurlyeq (U',s')$, falls ${}U\subseteq U'$ und ${}s'$ eine Fortsetzung von ${}s$ ist, eine Ordnung ein. Diese Menge ist aufgrund der Garbeneigenschaft induktiv geordnet. Nach dem Lemma von Zorn gibt es somit ein maximales Element ${}(U,s)$ in ${}{\mathcal {M}}$. Es ist zu zeigen, dass ${}U=X$ ist. Es sei also ${}U\neq X$ angenommen und sei ${}x\notin U$. Wegen der Garbensurjektivität ${}{\mathcal {G}}\rightarrow {\mathcal {H}}$ gibt es eine offene Umgebung ${}x\in V$ und einen Schnitt ${}r\in \Gamma {\left(V,{\mathcal {G}}\right)}$, der auf (die Restriktion auf ${}V$) ${}t$ abbildet. Daher bildet ${}s{|}_{U\cap V}-r{|}_{U\cap V}$ auf ${}0$ ab und gehört somit zu ${}\Gamma {\left(U\cap V,{\mathcal {F}}\right)}$. Wegen der Welkheit von ${}{\mathcal {F}}$ gibt es einen Schnitt

   ${}z\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {F}}\right)}\,,$

   der auf ${}s{|}_{U\cap V}-r{|}_{U\cap V}$ einschränkt. Wir ersetzen ${}r$ durch

   ${}r'=r+z{|}_{V}\,.$

   Dieses Element wird nach wie vor nach ${}t{|}_{V}$ abgebildet und es ist

   ${}s{|}_{U\cap V}-r'{|}_{U\cap V}=z{|}_{V}-z{|}_{V}=0\,.$

   Somit sind ${}s$ und ${}r'$ als Schnitte von ${}{\mathcal {G}}$ über ${}U$ bzw. ${}V$ verträglich und legen einen Schnitt ${}s'\in \Gamma {\left(U\cup V,{\mathcal {F}}\right)}$ fest, der nach ${}t$ abbildet. Dies ist ein Widerspruch zur Maximalität von ${}U$.

2. Folgt aus (1).

Zur bewiesenen Aussage