Topologischer Raum/Zusammenhängend/Lokal konstante Garbe/Z/Erste Kohomologie/Torsionsfrei/Aufgabe/Lösung


Wir betrachten zu die injektive Multiplikation

die zu einer kurzen exakten Sequenz von kommutativen Gruppen

führt. Diese führt wiederum zur entsprechenden kurzen exakten Garbensequenz der lokal konstanten Garben mit Werten in bzw. in . Die zugehörige lange exakte Kohomologiesequenz ist, da zusammenhängend ist, gleich

Da die globale Abbildung

surjektiv ist, ist

injektiv. Diese Abbildung ist aber auf der Gruppe ebenfalls die Multiplikation mit . Dies bedeutet insgesamt, dass auf die Multiplikation mit jedem

injektiv ist, was die Torsionsfreiheit der Gruppe bedeutet.