Topologischer Raum/Zusammenhängend/Lokal konstante Garbe/Z/Erste Kohomologie/Torsionsfrei/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten zu ${}a\in \mathbb {N} _{+}$ die injektive Multiplikation

$\mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} ,\,n\longmapsto an,$

die zu einer kurzen exakten Sequenz von kommutativen Gruppen

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,\mathbb {Z} \,{\stackrel {a}{\longrightarrow }}\,\mathbb {Z} \,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,\mathbb {Z} /(a)\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

führt. Diese führt wiederum zur entsprechenden kurzen exakten Garbensequenz der lokal konstanten Garben mit Werten in ${}\mathbb {Z}$ bzw. in ${}\mathbb {Z} /(a)$. Die zugehörige lange exakte Kohomologiesequenz ist, da ${}X$ zusammenhängend ist, gleich

$0\longrightarrow \mathbb {Z} {\stackrel {a}{\longrightarrow }}\mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} /(a)\longrightarrow H^{1}(X,\mathbb {Z} )\longrightarrow H^{1}(X,\mathbb {Z} )\longrightarrow ....$

Da die globale Abbildung

$\mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} /(a)$

surjektiv ist, ist

$H^{1}(X,\mathbb {Z} )\longrightarrow H^{1}(X,\mathbb {Z} )$

injektiv. Diese Abbildung ist aber auf der Gruppe ${}H^{1}(X,\mathbb {Z} )$ ebenfalls die Multiplikation mit ${}a$. Dies bedeutet insgesamt, dass auf ${}H^{1}(X,\mathbb {Z} )$ die Multiplikation mit jedem ${}a\in \mathbb {N} _{+}$

injektiv ist, was die Torsionsfreiheit der Gruppe bedeutet.

Zur gelösten Aufgabe