Torerzielung Fußball/Universitätsniveau

3. Zyklus

Betrachtung des linearen Zusammenhangs zwischen dem Zeitpunkt im Spiel und der Anzahl der Tore

Im zweiten Zyklus konnten wir mit Hilfe des Erwartungswertes feststellen, dass die meisten Tore zu Beginn der zweiten Spielhälfte erzielt wurden. Nun untersuchen wir, ob es einen weiteren Zusammenhang zwischen der Anzahl an Toren und der Spielzeit gibt.

Lineare Regression

Mit Hilfe des Tabellenkalkulationprogrammes Excel nutzen wir die Methode der linearen Regression, um einen linearen Zusammenhang zwischen der Zeit und der Anzahl an erzielten Toren zu untersuchen. Dabei erhalten wir die Funktionsgleichung der Regressionsgeraden $y=0,002x+1,3848$. Auffällig ist hier die geringe Steigung der Regressionsgeraden, die keinen linearen Zusammenhang vermuten lässt.

Um einen linearen Zusammenhang tatsächlich ausschließen zu können, bestimmen wir das Bestimmtheitmaß $R^{2}=0,005$. Folglich können wir also von keinen linearen Zusammenhang zwischen der Spielminute und der Anzahl an erzielten Toren ausgehen.

Mathematisches Modell: Erweiterung der Testdaten

Abbildung, um die Torposition zu präzisieren durch genaue xi und yi Werte

Zunächst bemühen wir uns um eine Erweiterung der Tabelle um weitere Werte. Zusätzlich präzisieren wir die Positionen der gefallenen Tore. Dazu bestimmen wir für jedes Tor den exakten xi- und einen yi- Wert. Der Nullpunkt ist dabei die linke Eckfahne (siehe Bild rechts). Damit ist sicher gestellt, dass alle Werte eindeutig sind und es keine negativen Werte gibt. Somit gibt der xi Wert die Entfernung von der Torauslinie zur Torschussposition an und der yi Wert die Entfernung von der linken Seitenauslinie zur Torschussposition.

Mit der neuen Testdatentabelle erhoffen wir uns, dass die zuvor geäußerten Vermutungen noch signifikanter werden. Zusätzlich erhalten wir mehr Werte, mit denen wir im weiteren Verlauf der Zyklen rechnen können. Sie liegen als Excel- Datei bereits komplett vor und ist hier ausschnittsweise zu sehen.

Über das mathematische Arbeiten zu den mathematischen Resultaten

Gibt es eine Funktionsvorschrift, die unser linear angenähertes und visualisiertes Problem noch genauer darstellen kann? Wie sieht diese Funktionsvorschrift aus?

Die folgende Funktion

$f(x)={\dfrac {1}{1+{\dfrac {x^{2}}{s}}}}$

beschreibt einen "Hügel" und lässt mit entsprechenden Modifikationen auf eine "Hügellandschaft" hoffen, wie wir sie benötigen und annähern wollen. Anbei sind einige Ausschnitte zu der Funktion und deren Veränderung dargestellt, die sich durch die Änderung des Parameters s ergibt. Deutlich zu erkennen ist, dass die Steigung um den Hügel deutlich steiler wird, wenn der Paramter kleiner gewählt wird. Wählt man den Parameter größer, so flacht die Steigung um den Hügel deutlich ab, und die Werte rund um den Mittelpunkt werden größer.

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  Gewichtsfunktion mit Parameter s=0.1
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  Gewichtsfunktion mit Parameter s=0.56
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  Gewichtsfunktion mit Parameter s=1