Torus/Lokale Konstante Funktionen/Erste Kohomologie/Beispiel

Wir betrachten ein Gitter und die Restklassengruppe

Wir arbeiten mit der offenen Überdeckung zu den offenen Mengen , die aus den homöomorphen Bildern von

und

besteht. Wenn man diese Mengen in das Fundamentalparallelogramm malt, bestehen sie jeweils aus vier Teilen. Die Durchschnitte bestehen aus zwei oder aus vier disjunkten Rechtecken, es liegt eine offene Überdeckung mit der Eigenschaft aus Fakt für die Garbe der lokal konstanten Funktionen vor. Wenn man einen Kreis durch zwei offene Kreissegmente und überdeckt, deren Durchschnitt aus zwei Intervallen besteht, und für einen weiteren Kreis die Segmente und nennt, so geht es einfach um die Produktmengen auf dem Torus. Es sei

und

Dann ist beispielsweise

und

Jede Kohomologieklasse für der Garbe der lokal konstanten Funktionen mit Werten in wird repräsentiert als eine Summe von zwei Kohomologieklassen, die sich jeweils im Wesentlichen von einem Kreis herrührt: Auf der Überdeckung mit dem Wert auf und dem Wert auf und auf der Überdeckung mit dem Wert auf und dem Wert auf . Die Kohomologie rührt also von den Projektionen her. Es ist also

Wie kann man darin das Bild von charakterisieren? Auf der oben angebenen offenen Überdeckung erhält man überall . Die holomorphe Funktion auf liefert für jedes eine holomorphe Funktion , die allerdings nicht zu einer globalen holomorphen Funktion zusammenkleben. Dies sieht man, wenn man das Fundamentalparallelogramm betrachtet. Wir bestimmen also auf dem Fundamentalparallelogramm, wobei wir mit darauf vergleichen. Die Funktion auf liefert links unten in der Tat , aber auf den Umklappungen links oben die Funktion , rechts unten und rechts oben . Die Funktion ist links unten , links oben , rechts oben und rechts unten . Die Funktion ist links unten , links oben , rechts oben und rechts unten . Die Funktion ist links unten , links oben , rechts oben und rechts unten . Die Differenzen sind.

Auf die Werte bzw. , auf die Werte bzw. . Der Durchschnitt besteht aus vier Teilen, die im Parallelogramm neun Teile zerfallen. Die vier Eckteile gehören zusammen, die beiden mittleren Randteile links und rechts, die beiden mittleren Randteile oben und unten und der mittlere Teil. Die Werte von darauf sind in dieser Reihenfolge gleich .