Totale Differenzierbarkeit/Bijektiv, nicht regulär/Aufgabe/Lösung

Für ist die Abbildung

bijektiv (mit der Umkehrfunktion ). Für ein betrachten wir die Abbildung

Dies ist eine polynomiale Abbildung, so dass das totale Differential durch die Jacobi-Matrix, also durch

gegeben ist. Für ist diese Matrix nicht invertierbar, da ihre Determinante ist, und die Abbildung ist für diese Punkte nicht regulär. Dennoch ist die Abbildung bijektiv, die Umkehrabbildung wird durch

gegeben.