Totale Differenzierbarkeit/K/Äquivalenz mit Limes/Aufgabe

Es seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale ${}{\mathbb {K} }$-Vektorräume, ${}G\subseteq V$ eine offene Menge, ${}\varphi \colon G\rightarrow W$ eine Abbildung und ${}L\colon V\rightarrow W$ eine lineare Abbildung. Zeige, dass folgende Eigenschaften äquivalent sind.

1. ${}\varphi$ ist differenzierbar in ${}P$ mit dem totalen Differential ${}L$.
2. Der Limes

   $\operatorname {lim} _{v\rightarrow 0,v\neq 0}\,{\frac {\varphi (P+v)-\varphi (P)-L(v)}{\Vert {v}\Vert }}$

   existiert und ist gleich ${}0$.

3. Der Limes

   $\operatorname {lim} _{v\rightarrow 0,v\neq 0}\,{\frac {\Vert {\varphi (P+v)-\varphi (P)-L(v)}\Vert }{\Vert {v}\Vert }}$

   existiert und ist gleich ${}0$.

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