Wir haben nach Voraussetzung
(wobei wir
setzen)
-
![{\displaystyle {}\varphi (P+v)=\varphi (P)+L(v)+\Vert {v}\Vert r(v)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d04017e575ecc8bdf76fcf7cae2aa1f221178541)
und
-
![{\displaystyle {}\psi (Q+w)=\psi (Q)+M(w)+\Vert {w}\Vert s(w)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c5cb943a189760d2f16e83033f6f8f505cea720)
mit linearen Abbildungen
und
,
und mit in
stetigen Funktionen
und
,
die beide in
den Wert
annehmen. Damit gilt
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}(\psi \circ \varphi )(P+v)&=\psi (\varphi (P+v))\\&=\psi {\left(\varphi (P)+L(v)+\Vert {v}\Vert r(v)\right)}\\&=\psi (\varphi (P))+M(L(v)+\Vert {v}\Vert r(v))+\Vert {L(v)+\Vert {v}\Vert r(v)}\Vert s(L(v)+\Vert {v}\Vert r(v))\\&=\psi (\varphi (P))+M(L(v))+M(\Vert {v}\Vert r(v))+\Vert {L(v)+\Vert {v}\Vert r(v)}\Vert s(L(v)+\Vert {v}\Vert r(v))\\&=\psi (\varphi (P))+(M\circ L)(v)+\Vert {v}\Vert M(r(v))+\Vert {\Vert {v}\Vert L{\left({\frac {v}{\Vert {v}\Vert }}\right)}+\Vert {v}\Vert r(v)}\Vert s(L(v)+\Vert {v}\Vert r(v))\\&=\psi (\varphi (P))+(M\circ L)(v)+\Vert {v}\Vert {\left(M(r(v))+\Vert {L{\left({\frac {v}{\Vert {v}\Vert }}\right)}+r(v)}\Vert s(L(v)+\Vert {v}\Vert r(v))\right)}.\,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc4f533834e4696979b75e60cd3c284c34a0a6e1)
Dabei haben wir in der dritten Gleichung die lineare Approximation für
-
![{\displaystyle {}w=L(v)+\Vert {v}\Vert r(v)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca3ee50ea650e0ab44f57527e481c5c62d9773fa)
eingesetzt. Die beiden letzten Gleichungen gelten nur für
.
Der Ausdruck
-
![{\displaystyle t(v):=M(r(v))+\Vert {L{\left({\frac {v}{\Vert {v}\Vert }}\right)}+r(v)}\Vert s(L(v)+\Vert {v}\Vert r(v))\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a7632b0ac0da0ba878aed46300fbf6c1cbf97ba)
ist unser Kandidat für die Abweichungsfunktion. Der erste Summand
ist in
stetig und hat dort auch den Wert
. Es genügt also den zweiten Summanden zu betrachten. Der
-Ausdruck ist in einer Umgebung der Null beschränkt, da
auf der
kompakten
Einheitssphäre
nach Fakt
beschränkt ist und da
![{\displaystyle {}r}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bb5f79c4817f351321ea53402ede0d18ca08b96)
in
![{\displaystyle {}0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5428e3b06006771c083bd17ed8fce8f3be334b2)
stetig ist. Daher hängt die Stetigkeit nur von dem rechten Faktor ab. Aber
![{\displaystyle {}L(v)+\Vert {v}\Vert r(v)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1af447bd0cdf2fed7ea2cffb6182c1d1b4407064)
hat für
![{\displaystyle {}v\rightarrow 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b01bd3fa7b47dd17681ba9b4d7f4a6352458f19)
den Grenzwert
![{\displaystyle {}0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5428e3b06006771c083bd17ed8fce8f3be334b2)
. Damit ist auch
![{\displaystyle {}s(L(v)+\Vert {v}\Vert r(v))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0800e07a3baa92b9f784b82d6eaed5e8ebac765)
in
![{\displaystyle {}0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5428e3b06006771c083bd17ed8fce8f3be334b2)
stetig und hat dort den Grenzwert
![{\displaystyle {}0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5428e3b06006771c083bd17ed8fce8f3be334b2)
.