Totale Differenzierbarkeit/K/Produktregel/Fakt

Produktregel für totales Differential

Es seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale ${}{\mathbb {K} }$ -Vektorräume, ${}G\subseteq V$ eine offene Menge, ${}P\in G$ ein Punkt, ${}\varphi \colon G\rightarrow W$ und ${}f\colon G\rightarrow {\mathbb {K} }$ in ${}P$ differenzierbare Abbildungen.

Dann ist die Produktabbildung

$f\cdot \varphi \colon G\longrightarrow W$

in ${}P$ differenzierbar mit

{}\left(D(f\cdot \varphi )\right)_{P}=f(P)\cdot \left(D\varphi \right)_{P}+\left(Df\right)_{P}\cdot \varphi (P)\,.