Totales Differential/K/Anwendung der Kettenregel/Komposition mit Multiplikation/Aufgabe

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}{\mathbb {K} }$ -Vektorraum und ${}G\subseteq V$ eine offene Teilmenge. Weiter seien ${}f,g\colon G\rightarrow {\mathbb {K} }$ zwei in ${}P\in G$ differenzierbare Funktionen. Wende die Kettenregel und Aufgabe auf das Diagramm

G{\stackrel {f,g}{\longrightarrow }}{\mathbb {K} }\times {\mathbb {K} }{\stackrel {\operatorname {mult} }{\longrightarrow }}{\mathbb {K} }

an, um zu zeigen, dass die Gleichung

\left(D(f\cdot g)\right)_{P}=g(P)\cdot \left(Df\right)_{P}+f(P)\cdot \left(Dg\right)_{P}

gilt.