Totales Differential/R/Kettenregel/(u^2v^2,u+ sin v,v^3) und (x^2y-z^2,xy^2 +yz exp x)/Aufgabe

Bestätige die Kettenregel anhand der beiden Abbildungen

$\varphi \colon {\mathbb {R} }^{2}\longrightarrow {\mathbb {R} }^{3},\,(u,v)\longmapsto (u^{2}v^{2},u+\sin v,v^{3}),$

und

$\psi \colon {\mathbb {R} }^{3}\longrightarrow {\mathbb {R} }^{2},\,(x,y,z)\longmapsto (x^{2}y-z^{2},xy^{2}+yz\exp x),$

und ihrer Komposition ${}\psi \circ \varphi$ in folgenden Schritten.

1. Berechne für einen beliebigen Punkt ${}P\in {\mathbb {R} }^{2}$ das totale Differential ${}\left(D\varphi \right)_{P}$ mit Hilfe von partiellen Ableitungen.
2. Berechne für einen beliebigen Punkt ${}Q\in {\mathbb {R} }^{3}$ das totale Differential ${}\left(D\psi \right)_{Q}$ mit Hilfe von partiellen Ableitungen.
3. Berechne explizit die Komposition ${}\psi \circ \varphi \colon {\mathbb {R} }^{2}\rightarrow {\mathbb {R} }^{2}$.
4. Berechne direkt mit partiellen Ableitungen in einem Punkt ${}P\in {\mathbb {R} }^{2}$ das totale Differential von ${}\psi \circ \varphi \colon {\mathbb {R} }^{2}\rightarrow {\mathbb {R} }^{2}$.
5. Berechne das totale Differential von ${}\psi \circ \varphi \colon {\mathbb {R} }^{2}\rightarrow {\mathbb {R} }^{2}$ in einem Punkt ${}P\in {\mathbb {R} }^{2}$ mit Hilfe der Kettenregel und den Teilen (1) und (2).

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