Einführung

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Der Transformationssatz (auch Transformationsformel) beschreibt in der Analysis das Verhalten von Integralen unter Koordinatentransformationen. Er ist somit die Verallgemeinerung der Integration durch Substitution auf Funktionen höherer Dimensionen. Der Transformationssatz wird als Hilfsmittel bei der Berechnung von Integralen verwendet, wenn sich das Integral nach Überführung in ein anderes Koordinatensystem leichter berechnen lässt.

Formulierung des Satzes

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Es sei   eine offene Menge und   ein Diffeomorphismus. Dann ist die Funktion   auf   genau dann integrierbar, wenn die Funktion   auf   integrierbar ist. In diesem Fall gilt:

 

Dabei ist   die Jacobi-Matrix und   die Funktionaldeterminante von  .

Spezialfälle

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  • Wählt man für   die konstante Funktion 1, so stellt die linke Seite der Formel einfach das Volumen bzw.  -dimensionale Lebesgue-Maß der Bildmenge   dar:
     
  • Ist außerdem die Abbildung   linear oder affin,  , wobei   eine  -Matrix ist und  , so ist  . Somit gilt
     

Beispiel - Dichtefunktion der Normalverteilung

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Um zu zeigen, dass das Integral über die Dichtefunktion der Normalverteilung normiert ist (siehe Wahrscheinlichkeitsmaß), berechnet man das uneigentliche Integral über die Gauß-Glocke mit der folgenden Dichtefunktion:

 

Beweisidee

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Man zeigt, dass das Integral   über die obige Dichtefunktion gleich 1 ist, indem man zeigt, dass  . Da das Integral über eine positive Dichtefunktion ebenfalls positiv sein muss, bleibt dann nur die Lösung, dass   sein muss.

Lineare Transformation

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Um die Parameter in der Dichtefunktion bei der Berechnung zu vereinfachen, genügt es, die folgende Aussage für die Dichte der Standardnormalverteilung zu zeigen:

 

Die obige Aussage für eine allgemeine Dichte erhält man unmittelbar über die Substitionsregel der Integration.

Eigenschaften - Rotationssymmetrie

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Da die Funktion   rotationssymmetrisch ist, liegt die Berechnung des Integrals in Polarkoordinaten statt kartesischen Koordinaten nahe:


Koordinatentransformation

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Um das Integral berechnen zu können, wird eine Koordinatentransformation von dem kartesischen Koordinaten in die Polarkoordinaten durchgeführt. Dafür benötigt man die Funktionaldeterminante oder Determinante der Jacobi-Matrix.

Determinante der Jacobi-Matrix

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Es sei   und

 

Dann ist die Funktionaldeterminante

 

Anwendung des Transformationssatzes

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Das Komplement von   ist eine Nullmenge, mit   ergibt sich also

 
 
 
 
 
 

Die Auswertung des inneren Integrals in der vorletzten Zeile kann beispielsweise durch eine Substitution   begründet werden.

Literatur

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Siehe auch

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