Transformationssatz
Einführung
BearbeitenDer Transformationssatz (auch Transformationsformel) beschreibt in der Analysis das Verhalten von Integralen unter Koordinatentransformationen. Er ist somit die Verallgemeinerung der Integration durch Substitution auf Funktionen höherer Dimensionen. Der Transformationssatz wird als Hilfsmittel bei der Berechnung von Integralen verwendet, wenn sich das Integral nach Überführung in ein anderes Koordinatensystem leichter berechnen lässt.
Formulierung des Satzes
BearbeitenEs sei eine offene Menge und ein Diffeomorphismus. Dann ist die Funktion auf genau dann integrierbar, wenn die Funktion auf integrierbar ist. In diesem Fall gilt:
Dabei ist die Jacobi-Matrix und die Funktionaldeterminante von .
Spezialfälle
Bearbeiten- Wählt man für die konstante Funktion 1, so stellt die linke Seite der Formel einfach das Volumen bzw. -dimensionale Lebesgue-Maß der Bildmenge dar:
- Ist außerdem die Abbildung linear oder affin, , wobei eine -Matrix ist und , so ist . Somit gilt
Beispiel - Dichtefunktion der Normalverteilung
BearbeitenUm zu zeigen, dass das Integral über die Dichtefunktion der Normalverteilung normiert ist (siehe Wahrscheinlichkeitsmaß), berechnet man das uneigentliche Integral über die Gauß-Glocke mit der folgenden Dichtefunktion:
Beweisidee
BearbeitenMan zeigt, dass das Integral über die obige Dichtefunktion gleich 1 ist, indem man zeigt, dass . Da das Integral über eine positive Dichtefunktion ebenfalls positiv sein muss, bleibt dann nur die Lösung, dass sein muss.
Lineare Transformation
BearbeitenUm die Parameter in der Dichtefunktion bei der Berechnung zu vereinfachen, genügt es, die folgende Aussage für die Dichte der Standardnormalverteilung zu zeigen:
Die obige Aussage für eine allgemeine Dichte erhält man unmittelbar über die Substitionsregel der Integration.
Eigenschaften - Rotationssymmetrie
BearbeitenDa die Funktion rotationssymmetrisch ist, liegt die Berechnung des Integrals in Polarkoordinaten statt kartesischen Koordinaten nahe:
Koordinatentransformation
BearbeitenUm das Integral berechnen zu können, wird eine Koordinatentransformation von dem kartesischen Koordinaten in die Polarkoordinaten durchgeführt. Dafür benötigt man die Funktionaldeterminante oder Determinante der Jacobi-Matrix.
Determinante der Jacobi-Matrix
BearbeitenEs sei und
Dann ist die Funktionaldeterminante
Anwendung des Transformationssatzes
BearbeitenDas Komplement von ist eine Nullmenge, mit ergibt sich also
Die Auswertung des inneren Integrals in der vorletzten Zeile kann beispielsweise durch eine Substitution begründet werden.
Literatur
Bearbeiten- Otto Forster: Analysis. Band 3: Maß- und Integrationstheorie, Integralsätze im Rn und Anwendungen, 8. verbesserte Auflage. Springer Spektrum, Wiesbaden, 2017, ISBN 978-3-658-16745-5.
- Konrad Königsberger: Analysis 2, Springer, Berlin 2004, S. 211
Siehe auch
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