Translationsinvariantes Maß/Proportional zum Borel-Lebesgue-Maß/Festlegung auf beliebiger Teilmenge/Fakt/Beweis
Beweis
Es sei , wobei der Einheitswürfel im sei. Wenn ist, so liegt das Nullmaß vor, da sich der mit abzählbar vielen verschobenen Einheitswürfeln überdecken lässt, die wegen der Translationsinvarianz ebenfalls das Maß haben. Dann hat der Gesamtraum das Maß und damit hat jede messbare Teilmenge das Maß . Es sei also . In diesem Fall betrachten wir das durch
definierte
(umskalierte)
Maß. Dieses ist nach wie vor translationsinvariant und besitzt auf dem Einheitswürfel den Wert . Nach
Fakt
ist also
und somit ist
.