Transposition/Signum/Fakt/Beweis

Beweis

Die Transposition ${}\tau$ vertausche die beiden Zahlen ${}k<\ell$. Wenn ${}k+1<\ell$, und wenn ${}\rho$ die Transposition der Nachbarn ${}k$ und ${}k+1$ und ${}{\tilde {\tau }}$ die Transposition von ${}k+1$ und ${}\ell$ bezeichnet, so besteht die Beziehung

${}\tau =\rho \circ {\tilde {\tau }}\circ \rho \,,$

was man direkt auf den relevanten Elementen ${}k,k+1,\ell$ überprüfen kann. Aufgrund der Homomorphieeigenschaft gilt also ${}\operatorname {sgn} (\tau )=\operatorname {sgn} ({\tilde {\tau }})$. Daher genügt es, die Aussage für Transpositionen zu beweisen, die zwei benachbarte Elemente vertauschen. Solche Transpositionen haben aber nur einen Fehlstand, und somit folgt die Aussage aus Fakt.

Zur bewiesenen Aussage