Transposition/Signum/Fakt/Beweis2

Beweis

Die Transposition ${}\tau$ vertausche ${}k<\ell$. Wir berechnen die Anzahl der Fehlstände von ${}\tau$. Wir bestimmen für ein Paar ${}(i,j)$, ${}i<j$, ob ein Fehlstand vorliegt. Bei ${}i<k$ liegt wegen

${}\tau (i)=i<\operatorname {min} \left(k,\,j\right)=\tau (j)\,$

kein Fehlstand vor. Entsprechend liegt bei ${}j>\ell$ kein Fehlstand vor. Es sei also

${}k\leq i<j\leq \ell \,.$

Bei

${}k<i<j<\ell \,$

ist ${}\tau (i)=i<j=\tau (j)$ und es liegt kein Fehlstand vor. Bei

${}k=i<j<\ell \,$

liegt wegen

${}\tau (k)=\ell >j=\tau (j)\,$

ein Fehlstand vor und ebenso liegt bei

${}k<i<j=\ell \,$

ein Fehlstand vor. Ferner ist ${}k<\ell$ ein Fehlstand. Dies ergibt insgesamt

${}(\ell -k-1)+(\ell -k-1)+1=2\ell -2k-1\,$

Fehlstände. Daher ist die Anzahl der Fehlstände ungerade und das Signum einer Transposition ist ${}-1$ nach Fakt.

Zur bewiesenen Aussage