Transposition/Signum/Fakt/Beweis3

Beweis

Die Transposition ${}\tau$ vertausche die beiden Zahlen ${}k<\ell$. Dann ist

${}{\begin{aligned}\operatorname {sgn} (\tau )&=\prod _{i<j}{\frac {\tau (j)-\tau (i)}{j-i}}\\&=\prod _{i<j,\,i,j\neq k,\ell }{\frac {\tau (j)-\tau (i)}{j-i}}\cdot \prod _{i<j,\,i=k,j\neq \ell }{\frac {\tau (j)-\tau (i)}{j-i}}\cdot \prod _{i<j,\,j=k}{\frac {\tau (j)-\tau (i)}{j-i}}\cdot \prod _{i<j,\,i\neq k,j=\ell }{\frac {\tau (j)-\tau (i)}{j-i}}\cdot \prod _{i<j,\,i=\ell }{\frac {\tau (j)-\tau (i)}{j-i}}\cdot \prod _{i<j,\,i=k,j=\ell }{\frac {\tau (j)-\tau (i)}{j-i}}\\&=\prod _{j>k,\,j\neq \ell }{\frac {j-\ell }{j-k}}\cdot \prod _{i<k}{\frac {\ell -i}{k-i}}\cdot \prod _{i\neq k,\,i<\ell }{\frac {k-i}{\ell -i}}\cdot \prod _{\ell <j}{\frac {j-k}{j-\ell }}\cdot {\frac {k-\ell }{\ell -k}}\\&=\prod _{k<j<\ell }{\frac {j-\ell }{j-k}}\cdot \prod _{k<i<\ell }{\frac {k-i}{\ell -i}}\cdot (-1)\\&=-1.\end{aligned}}$

In der vorletzten Gleichung haben wir das erste und das vierte und das zweite und das dritte Produkt miteinander verarbeitet. Die letzte Gleichung ergibt sich, da über die gleiche Indexmenge das Produkt genommen wird und sich dabei die Faktoren wegkürzen.

Zur bewiesenen Aussage