Transzendente Matrix/Symmetrische Potenz/Lineare Unabhängigkeit/Fakt/Beweis

Beweis

Die symmetrische Potenz ${}\operatorname {Sym} ^{q}{\left(M\right)}$ der Matrix beschreibt die durch die lineare Abbildung ${}X_{i}\mapsto \sum _{j=1}^{n}t_{ji}X_{j}$ induzierte Abbildung des Polynomrings ${}K(T_{ij})[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ auf sich selbst im Grad ${}q$. Der Eintrag in der Zeile ${}\mu$ und Spalte ${}\nu$ ist also der Koeffizient zu ${}X^{\mu }$ von

${\left(t_{11}X_{1}+\cdots +t_{n1}X_{n}\right)}^{\nu _{1}}\cdots {\left(t_{1n}X_{1}+\cdots +t_{nn}X_{n}\right)}^{\nu _{n}}.$

Die ${}i$-te Potenz ist nach dem Multinomialsatz

$\sum _{\vert {\lambda _{i}}\vert =\nu _{i}}{{\nu _{i}} \choose \lambda _{i}}\cdot t_{i}^{\lambda _{i}}X^{\lambda _{i}}.$

Um den Koeffizienten zu ${}X^{\mu }$ des gesamten Produktes zu bestimmen, muss man die Einzelprodukte der Form

${}t_{1}^{\lambda _{1}}X^{\lambda _{1}}\cdots t_{n}^{\lambda _{n}}X^{\lambda _{n}}=t_{1}^{\lambda _{1}}\cdots t_{n}^{\lambda _{n}}X^{\lambda _{1}+\cdots +\lambda _{n}}\,$

(mit Vorfaktoren) mit

${}\lambda _{1}+\cdots +\lambda _{n}=\mu \,$

betrachten. Da die ${}t_{ij}$ Variablen sind, lässt sich aus dem Monom ${}t_{1}^{\lambda _{1}}\cdots t_{n}^{\lambda _{n}}$ das Mehrfachtupel ${}(\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n})$ rekonstruieren. Dieses legt ${}\mu$ als Summe und auch ${}\nu$ über ${}\nu _{i}=\vert {\lambda _{i}}\vert$ fest. Dies bedeutet, dass jedes ${}t_{1}^{\lambda _{1}}\cdots t_{n}^{\lambda _{n}}$ in der symmetrischen Potenz einer Variablenmatrix nur in einem Eintrag vorkommt. In Charakteristik ${}0$ sind die Binomialkoeffizienten nicht ${}0$, daher sind sämtliche Einträge der symmetrischen Potenz linear unabhängig.

Zur bewiesenen Aussage