Trigonometrische Parametrisierung/Mittelwertsatz nur Abschätzung/Beispiel

Wir betrachten die trigonometrische Parametrisierung des Einheitskreises, also die Abbildung

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto (\cos t,\sin t).$

Diese Abbildung ist für jedes ${}t\in \mathbb {R}$ differenzierbar mit der Ableitung

${}f'(t)=(-\sin t,\cos t)\,.$

Die Norm dieser Ableitung ist zu jedem Zeitpunkt gleich

${}\Vert {f'(t)}\Vert ={\sqrt {\sin ^{2}t+\cos ^{2}t}}=1\,.$

Wählen wir das Intervall ${}[0,2\pi ]$, so ist

${}f(0)=(1,0)=f(2\pi )\,.$

Dies bedeutet, dass in der Mittelwertabschätzung nicht Gleichheit gelten kann.