Trigonometrische Parametrisierung/Tangentialabbildung/Surjektiv/Aufgabe/Lösung

Die Abbildung ${}\varphi$ ist surjektiv, es ist also lediglich zu zeigen, dass für jedes ${}t\in \mathbb {R}$ die lineare Tangentialabbildung

$T_{t}\mathbb {R} \cong \mathbb {R} \longrightarrow T_{\varphi (t)}S^{1}$

surjektiv ist. Da beide Räume eindimensional sind, muss gezeigt werden, dass ein von ${}0$ verschiedener Vektor nicht auf ${}0$ geht. Ein Tangentialvektor an ${}t$ wird realisiert durch den differenzierbaren Weg

$\gamma \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,s\longmapsto t+s.$

Der verknüpfte Weg

$\varphi \circ \gamma \colon \mathbb {R} \longrightarrow S^{1},\,s\longmapsto (\cos(t+s),\sin(t+s)),$

realisiert den Bild-Tangentialvektor, und zwar ist (in der umgebenden Ebene ${}T_{\varphi (t)}S^{1}\subseteq \mathbb {R} ^{2}$)

${}(\varphi \circ \gamma )'(0)=(-\sin t,\cos t)\,,$

und das ist nicht der Nullvektor.

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