Tschebyschow-Polynom/Bezug zum Kosinus/Fakt/Beweis

Beweis

\cos \left(nz\right)+{\mathrm {i} }\sin \left(nz\right)=e^{{\mathrm {i} }nz}={\left(e^{{\mathrm {i} }z}\right)}^{n}={\left(\cos \left(z\right)+{\mathrm {i} }\sin \left(z\right)\right)}^{n}\,.

Wenn wir die rechte Seite ausmultiplizieren erhalten wir mit Fakt

{}{\begin{aligned}\sum _{\ell =0}^{n}{\binom {n}{\ell }}{\mathrm {i} }^{\ell }\sin ^{\ell }z\cos ^{n-\ell }z&=\sum _{k=0}^{\left\lfloor n/2\right\rfloor }(-1)^{k}{\binom {n}{2k}}\sin ^{2k}z\cos ^{n-2k}z+{\mathrm {i} }\sum _{k=0}^{\left\lfloor n/2\right\rfloor }(-1)^{k}{\binom {n}{2k+1}}\sin ^{2k+1}z\cos ^{n-2k-1}z\\\end{aligned}}

Der Vergleich der Realteile bei ${}z$ reell und Fakt (6) ergibt

{}{\begin{aligned}\cos nz&=\sum _{k=0}^{\left\lfloor n/2\right\rfloor }(-1)^{k}{\binom {n}{2k}}{\left(1-\cos ^{2}z\right)}^{k}\cos ^{n-2k}z\\&=\sum _{k=0}^{\left\lfloor n/2\right\rfloor }{\binom {n}{2k}}\cos ^{n-2k}z{\left(\cos ^{2}z-1\right)}^{k}\\&=T_{n}(\cos z).\end{aligned}}

Als eine Gleichheit für analytische Funktionen gilt sie auch für alle ${}z\in {\mathbb {C} }$ .