Tschebyschow-Polynom/Darstellung mit Wurzel aus x^2-1/Aufgabe/Lösung

Es ist

{}{\begin{aligned}{\left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)}^{n}+{\left(x-{\sqrt {x^{2}-1}}\right)}^{n}&=\sum _{j=0}^{n}{\binom {n}{j}}x^{n-j}{\sqrt {x^{2}-1}}^{j}+(-1)^{j}\sum _{j=0}^{n}{\binom {n}{j}}x^{n-j}{\sqrt {x^{2}-1}}^{j}\\\end{aligned}}

Bei ungeradem ${}j$ heben sich die Terme links und rechts weg, bei ${}j$ gerade verdoppeln sich die Terme. Daher ist diese Summe gleich

{}2\sum _{k=0}^{\left\lfloor n/2\right\rfloor }{\binom {n}{2k}}x^{n-2k}{\sqrt {x^{2}-1}}^{2k}=2T_{n}(x)\,.