Tschebyschow-Polynom/Rekursionsformel/Fakt/Beweis

Beweis

Eine doppelte Anwendung des Additionstheorems für den Kosinus ergibt mit Fakt

{}{\begin{aligned}T_{n+1}(\cos z)&=\cos \left((n+1)z\right)\\&=\cos \left(nz\right)\cos \left(z\right)-\sin \left(nz\right)\sin z\\&=2\cos \left(nz\right)\cos \left(z\right)-\cos \left(nz\right)\cos \left(z\right)-\sin \left(nz\right)\sin z\\&=2\cos z\cos \left(nz\right)-\cos(n-1)z\\&=2\cos z\cdot T_{n}(\cos z)-T_{n-1}(\cos \left(z\right))\end{aligned}}

für alle ${}z\in [0,\pi ]$ . Daher muss überhaupt die behauptete polynomiale Identität vorliegen.