Tupel, Vektoren, Matrizen/R/Mengen/Einführung/Textabschnitt

Wichtige Produktmengen sind beispielsweise ${}\mathbb {R} ^{2}=\mathbb {R} \times \mathbb {R}$ und ${}\mathbb {R} ^{3}=\mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R}$. Bei den Elementen darin kommt es wesentlich auf die Reihenfolge an. Generell schreibt man zu einer Menge ${}M$ und einem ${}n\in \mathbb {N}$ die ${}n$-fache Produktmenge von ${}M$ mit sich selbst als

${}M^{n}=\underbrace {M\times \cdots \times M} _{n{\text{-mal}}}\,.$

Die Elemente darin haben die Gestalt

$(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}),$

wobei alle ${}x_{i}$ aus ${}M$ sind. Eine solche geordnete endliche Folge von ${}n$ Elementen nennt man auch ein ${}n$-Tupel über ${}M$. Bei ${}n=2$ spricht man von einem Paar, bei ${}n=3$ von einem Tripel. Zu

${}x=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,$

nennt man ${}x_{i}$ die ${}i$-te Komponente oder den ${}i$-ten Eintrag des Tupels. Das tiefgestellte ${}i$ heißt in diesem Zusammenhang der Index des Tupels und ${}{\{1,\ldots ,n\}}$ die Indexmenge des Tupels.

Generell gibt es auch zu komplizierteren Indexmengen ${}I$ sogenannte ${}I$-Tupel. Bei einem ${}I$-Tupel wird jedem ${}i\in I$ ein mathematisches Objekt zugeordnet, das Tupel wird als ${}x_{i}$, ${}i\in I$, geschrieben. Wenn sämtliche ${}x_{i}$ aus einer gemeinsamen Menge ${}M$ stammen, spricht man auch von einem ${}I$-Tupel aus ${}M$. Bei ${}I=\mathbb {N}$ spricht man von einer Folge in ${}M$.

Eine endliche Indexmenge kann man stets durch eine Menge der Form ${}{\{1,\ldots ,n\}}$ ersetzen (diesen Vorgang kann man eine Nummerierung der Indexmenge nennen), doch ist das nicht immer sinnvoll. Wenn man z.B. mit einer Indexmenge

${}I={\{1,\ldots ,n\}}\,$

startet und sich dann für gewisse Teilindexmengen ${}J\subseteq I$ interessiert, so ist es natürlich, die von ${}I$ ererbten Bezeichnungen beizubehalten, anstatt ${}J$ mit einer neuen Nummerierung ${}\{1,\ldots ,m\}$ zu versehen. Häufig gibt es für ein bestimmtes Problem „natürliche“ Indexmengen, die (allein schon mnemotechnisch) einen Teil des strukturellen Gehalts des Problems widerspiegeln.

Spezieller nennt man ein ${}n$-Tupel über einer Menge ${}M$ der Form

$\left(a_{1},\,\ldots ,\,a_{n}\right)$

ein Zeilentupel (der Länge ${}n$) und eines der Form

${\begin{pmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{pmatrix}}$

ein Spaltentupel. Im Allgemeinen sind das nur zwei unterschiedliche Darstellungsweisen; wenn die Tupel aber zusätzliche Strukturen repräsentieren (beispielsweise Vektoren, auf die eine Matrix (s.u.) angewendet werden soll), so ist der Unterschied bedeutsam.

Wenn ${}I$ und ${}J$ zwei Mengen sind und ${}I\times J$ ihre Produktmenge, so kann man ein ${}I\times J$-Tupel in ${}M$ als eine „Tabelle“ auffassen, bei der jedem Paar ${}(i,j)$ ein Element ${}a_{ij}\in M$ zugeordnet wird. Insbesondere bei ${}I=\{1,\ldots ,m\}$ und ${}J=\{1,\ldots ,n\}$ nennt man ein ${}I\times J$-Tupel auch eine ${}m\times n$-Matrix und schreibt sie als

${\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\ldots &a_{mn}\end{pmatrix}}.$

Das Zeilentupel

$\left(a_{i1},\,a_{i2},\,\ldots ,\,a_{in}\right)$

heißt dann die ${}i$-te Zeile der Matrix und entsprechend

${\begin{pmatrix}a_{1j}\\a_{2j}\\\vdots \\a_{mj}\end{pmatrix}}$

die ${}j$-te Spalte der Matrix.