Umkehrabbildung/R^3 nach R^3/Polynomial/1/Aufgabe/Lösung

1. Die Jacobi-Matrix ist

   ${\begin{pmatrix}y&x&0\\1&0&-2z\\z&3y^{2}&x\end{pmatrix}}.$

2. Die Determinante der Jacobi-Matrix ist über Entwicklung nach der ersten Zeile gleich

   ${}y(6y^{2}z)-x(x+2z^{2})=6y^{3}z-x^{2}-2xz^{2}\,.$

3. Die Determinante der Jacobi-Matrix im Punkt ${}(2,-1,-2)$ ist

   ${}6(-1)^{3}(-2)-2^{2}-2\cdot 2(-2)^{2}=12-4-16=-8\neq 0\,.$

   Die Jacobi-Matrix ist also in diesem Punkt bijektiv und daher besitzt die Abbildung nach Fakt in diesem Punkt lokal eine Umkehrabbildung.

4. Die Determinante der Jacobi-Matrix ist im Nullpunkt gleich ${}0$, das hilft nicht weiter. Betrachten wir Punkte der Form ${}(0,0,z)$ und ${}(0,0,-z)$. Diese werden beide auf ${}(0,-z^{2},0)$ abgebildet und somit ist die Abbildung auf keiner beliebig kleinen offenen Umgebung des Nullpunkts injektiv. Es gibt also keine lokale Umkehrabbildung.
5. Die erste Komponente führt auf ${}xy=0$, also ${}x=0$ oder ${}y=0$. Bei ${}x=0$ wäre aber der Wert der zweiten Komponente, ${}-z^{2}$, negativ, sodass so kein Urbild aussehen kann. Also ist ${}y=0$. Wegen der dritten Komponente ist daher ${}z=0$. Deshalb muss ${}x=1$ sein. Der Punkt ${}(1,0,0)$ wird in der Tat auf ${}(0,1,0)$ abgebildet.

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