Umkehrabbildung/Zwei polynomiale Abbildungen/Nullpunkt/Aufgabe/Kommentar

Die Komponentenfunktionen der Abbildung ${}\varphi$ sind Polynome, sodass ${}\varphi$ nach Fakt total differenzierbar ist. Die Abbildung ist auf ganz ${}\mathbb {R} ^{2}$ definiert, sodass wir die Jacobi-Matrix im Punkt ${}(0,0)$ bestimmen können, um mittels des Satzes über die lokale Umkehrbarkeit auf die Umkehrbarkeit von ${}\varphi$ im Punkt ${}\varphi (0,0)$ zu schließen.

Bei der Berechnung der Jacobi-Matrix im Punkt ${}(0,0)$ fällt auf, dass diese nur von den Koeffizienten der Monome vom Grad ${}1$ abhängt. Koeffizienten zu Monomen höheren Grades liefern keinen Beitrag. Beispielsweise gilt

${\frac {\partial X^{2}}{\partial X}}(0,0)=(2X)(0,0)=0$

und

${\frac {\partial XY}{\partial X}}(0,0)=Y(0,0)=0$

und das Gleiche gilt für alle anderen höheren Terme. Somit ergibt sich für die Jacobi-Matrix

$\operatorname {Jak} (\varphi )_{(0,0)}={\begin{pmatrix}b&c\\e&f\end{pmatrix}}.$

Falls die Determinante nicht verschwindet, also ${}bf-ce\neq 0$ gilt, so ist ${}\varphi$ nach dem Satz über die lokale Umkehrbarkeit in einer Umgebung von ${}\varphi (0,0)$ umkehrbar – besitzt dort also eine total differenzierbare Umkehrabbildung. Wie sieht nun das totale Differential der Umkehrabbildung konkret aus?

Der Satz über die lokale Umkehrbarkeit liefert nur ein hinreichendes Kriterium für die Umkehrbarkeit in regulären Punkten – die anderen Fälle sind schwer zu charakterisieren. Falls beispielsweise die Polynome ${}P=x^{3}$ und ${}Q=y^{3}$ sind, so ist die Jacobi-Determinante Null, sodass wir den Satz nicht verwenden können. Tatsächlich besitzt ${}\varphi$ aber in ${}(0,0)$ (und sogar global) eine stetige Umkehrfunktion, die durch ${}(x,y)\longmapsto ({\sqrt[{3}]{x}},{\sqrt[{3}]{y}})$ gegeben ist. Diese ist jedoch in ${}(0,0)$ nicht differenzierbar.

Zur kommentierten Aufgabe