Uneigentliches Integral/Halboffenes Einheitsintervall nach R+/Fallend/Gleichheit des Integrals der Umkehrfunktion/Aufgabe

Es sei

$f\colon {]0,1]}\longrightarrow [0,\infty [$

eine stetige, streng fallende, bijektive Funktion mit der ebenfalls stetigen Umkehrfunktion

$f^{-1}\colon {[0,\infty [}\longrightarrow {]0,1]}.$

Es sei vorausgesetzt, dass das uneigentliche Integral ${}\int _{0}^{1}f(t)\,dt$ existiert. Zeige, dass dann auch das uneigentliche Integral ${}\int _{0}^{\infty }f^{-1}(y)\,dy$ existiert und dass der Wert dieser beiden Integrale übereinstimmt.

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