Ungerade Funktion/Kein isoliertes lokales Extremum/Aufgabe/Lösung

1. Die Nullfunktion ist ungerade und besitzt im Nullpunkt ein globales Maximum, das gleichzeitig globales Minimum ist.
2. Es sei ${}f$ ungerade, es gilt also ${}f(-x)=-f(x)$, für alle ${}x\in \mathbb {R}$. Dann ist insbesondere ${}f(0)=-f(0)$, also ${}f(0)=0$. Nehmen wir an, dass ${}f$ im Nullpunkt ein isoliertes lokales Maximum besitzt. Das bedeutet, dass es ein ${}\epsilon >0$ derart gibt, dass

   ${}f(x)<f(0)=0\,$

   für alle ${}x\in [-\epsilon ,\epsilon ]$ gilt. Für diese ${}x$ ist aber auch ${}-x\in [-\epsilon ,\epsilon ]$ und es ergibt sich direkt der Widerspruch

   ${}f(-x)=-f(x)>0\,.$

Zur gelösten Aufgabe