Unitärer Vektorraum/Isometrie/Orthogonales Komplement/Fakt/Beweis

Beweis

Es ist

${}U^{\perp }={\left\{v\in V\mid \left\langle v,u\right\rangle =0{\text{ für }}{\text{alle }}u\in U\right\}}\,.$

Für ein solches ${}v\in U^{\perp }$ und ein beliebiges ${}u\in U$ ist

${}\left\langle \varphi (v),u\right\rangle =\left\langle \varphi ^{-1}(\varphi (v)),\varphi ^{-1}(u)\right\rangle =\left\langle v,u'\right\rangle =0\,,$

da ${}u'=\varphi ^{-1}(u)\in U$ wegen der Invarianz von ${}U$ liegt. Also ist wieder ${}\varphi (v)\in U^{\perp }$.

Zur bewiesenen Aussage