Untere Dreiecksmatrix/Determinante/Aufgabe/Lösung

Wie führen Induktion nach ${}n$, wobei ${}M$ eine ${}n\times n$-Matrix sei. Der Induktionsanfang für ${}n=1$ ist klar, sei die Aussage für alle unteren Dreiecksmatrizen der Länge ${}n-1$ schon bewiesen. Die Determinantenformel sagt

${}{\begin{aligned}\det M&=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+1}a_{i1}\det M_{i}\\&=a_{11}\det M_{1}+\sum _{i=2}^{n}(-1)^{i+1}a_{i1}\det M_{i}.\end{aligned}}$

Für ${}i\geq 2$ ist die erste Zeile von ${}M$ ohne den ersten Eintrag eine Zeile von ${}M_{i}$, und zwar ist dies eine Nullzeile, da ja ${}M$ eine untere Dreiecksmatrix ist. Daher sind die Determinanten zu den ${}M_{i}$, ${}i\geq 2$, gleich ${}0$ und die hintere Summe in der obigen Formel ist ${}0$. Hingegen ist ${}M_{1}$ wieder eine untere Dreiecksmatrix und ihre Determinante ist nach Induktionsvoraussetzung gleich ${}a_{22}\cdots a_{nn}$. Also ist

${}\det M=a_{11}\cdot a_{22}\cdots a_{nn}\,.$

Zur gelösten Aufgabe