Untergruppe/Erzeugte Untergruppe/Einführung/Textabschnitt


Es sei eine Gruppe. Eine Teilmenge heißt Untergruppe von wenn folgendes gilt.

  1. .
  2. Mit ist auch .
  3. Mit ist auch .

Man hat beispielsweise die beiden Ketten von sukzessiven additiven Untergruppen,

und multiplikativen Gruppen

Die triviale Gruppe ist Untergruppe von jeder Gruppe. Untervektorräume eines Vektorraums sind ebenfalls Untergruppen.



Es sei eine Gruppe und , , eine Familie von Untergruppen. Dann ist auch der Durchschnitt

eine Untergruppe von .

Beweis

Siehe Aufgabe.



Es sei eine Gruppe und eine Teilmenge. Dann nennt man

die von erzeugte Untergruppe.

Insbesondere spricht man zu einer endlichen Menge von der davon erzeugten Untergruppe

Sie besteht aus allen „Wörtern“ oder „Termen“ (Buchstabenkombinationen) in den und . Zu einem einzigen Element hat die davon erzeugte Gruppe eine besonders einfache Gestalt, sie besteht nämlich aus allen Potenzen

wobei diese Potenzen untereinander nicht verschieden sein müssen.