Untergruppe/Kommutativ/Typische Beispiele/Nebenklassen/Aufgabe

Bestimme die Nebenklassen zu den folgenden Untergruppen von kommutativen Gruppen.

1. ${}(\mathbb {Z} ,0,+)\subseteq (\mathbb {R} ,0,+)$.
2. ${}(\mathbb {Q} ,0,+)\subseteq (\mathbb {R} ,0,+)$.
3. ${}(\mathbb {R} ,0,+)\subseteq ({\mathbb {C} },0,+)$.
4. ${}(\mathbb {Z} d,0,+)\subseteq (\mathbb {Z} ,0,+)$ (zu ${}d\in \mathbb {N}$).
5. ${}({\left\{z\in {\mathbb {C} }\mid \vert {z}\vert =1\right\}},1,\cdot )\subseteq ({\mathbb {C} }\setminus \{0\},1,\cdot )$.
6. ${}({\left\{z\in {\mathbb {C} }\mid z^{n}=1\right\}},1,\cdot )\subseteq ({\left\{z\in {\mathbb {C} }\mid \vert {z}\vert =1\right\}},1,\cdot )$ (zu ${}n\in \mathbb {N}$).

Wann bestehen die Nebenklassen aus endlich vielen Elementen, wann ist der Index endlich?

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