Untergruppen von Z^m/Endlich erzeugt/Fakt/Beweis

Beweis

Wir beweisen dies durch Induktion über .

Induktionsanfang: Es sei .

Wenn wird durch erzeugt. Andernfalls ist nicht die Nullgruppe und enthält daher noch weitere Elemente. Es sei mit minimal. Behauptung: wird durch erzeugt. Es sei beliebig. Dann liefert Division mit Rest mit . Wegen ist . Da minimal ist, muss sein. Daher wird tatsächlich durch erzeugt.

Induktionsvoraussetzung: Es sei jede Untergruppe von für endlich erzeugt durch höchstens Erzeuger (o.B.d.A. können wir hier immer genau Erzeuger annehmen).

Induktionsschritt: Wir fixieren eine Untergruppe . Wir projizieren kanonisch auf die letzte Komponente:

Es gilt . Daher ist endlich erzeugt durch aufgrund der Induktionsvoraussetzung. Es gilt auch . Daher ist endlich erzeugt durch . Es sei beliebig. Es gilt und . Daher ist und dies führt zu

ist daher endlich erzeugt durch höchstens Elemente von .