Urbildnehmen/Funktoriell/Aufgabe/Lösung

Es sei ${}U\subseteq N$ fixiert. Es sei ${}x\in f^{-1}{\left(g^{-1}(U)\right)}$. Das bedeutet

$f(x)\in g^{-1}(U)$

und das bedeutet

$g(f(x))\in U,$

also

$x\in (g\circ f)^{-1}(U).$

Wenn umgekehrt

$x\in (g\circ f)^{-1}(U)$

ist, so bedeutet dies

$g(f(x))\in U.$

Also ist

$f(x)\in g^{-1}(U)$

und damit

$x\in f^{-1}{\left(g^{-1}(U)\right)}.$

Zur gelösten Aufgabe