Vektorbündel/Endliche Strukturgruppe/Trivialisierbarkeit/Nicht-abelsche Kohomologie/Bemerkung

Ein Vektorbündel auf wird durch eine offene Überdeckung mit lokalen verträglichen Identifizierungen beschrieben. Die über gegebenen Übergangsabbildungen definieren eine Čech-Kohomologieklasse und somit ein Element in der nicht-abelschen Kohomologie (das ist lediglich eine Menge, die die Isomorphieklassen von Vektorbündeln repräsentiert, aber keine Gruppe). Es ist verlockend zu vermuten, dass die durch eine galoissche Überlagerung

mit Galoisgruppe trivialisierbaren Vektorbündel durch Kohomologieklassen repräsentiert werden, die von einer Klasse via einer Darstellung

herrühren. Bei einem integren Schema besitzt aber eine endliche Gruppe auf jeder offenen Menge nur die konstanten Schnitte, sodass die Kohomologiemenge in der Zariski-Topologie trivial ist.

Dies ändert sich, wenn man statt mit der Zariski-Topologie mit der étalen oder der treuflachen Topologie arbeitet. Die Menge klassifiziert die étalen -Hauptfaserbündel über . Wenn eine Darstellung

und ein étales -Hauptfaserbündel

gegeben ist, so wird die zugehörige Klasse auf zu , und dasselbe gilt für die Kohomologieklasse (Vektorbündel in der Zariski- und in der étalen Topologie sind äquivalent), sodass das durch repräsentierte Vektorbündel auf über trivialisiert.