Ein Vektorbündel auf wird durch eine offene Überdeckung mit lokalen verträglichen Identifizierungen beschrieben. Die über gegebenen Übergangsabbildungen definieren eine Čech-Kohomologieklasse und somit ein Element in der nicht-abelschen Kohomologie
(das ist lediglich eine Menge, die die Isomorphieklassen von Vektorbündeln repräsentiert, aber keine Gruppe).
Es ist verlockend zu vermuten, dass die durch eine galoissche Überlagerung
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mit Galoisgruppe trivialisierbaren Vektorbündel durch Kohomologieklassen repräsentiert werden, die von einer Klasse via einer Darstellung
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herrühren. Bei einem integren Schema besitzt aber eine endliche Gruppe auf jeder offenen Menge nur die konstanten Schnitte, sodass die Kohomologiemenge in der Zariski-Topologie trivial ist.
Dies ändert sich, wenn man statt mit der Zariski-Topologie mit der étalen oder der treuflachen Topologie arbeitet. Die Menge klassifiziert die étalen -Hauptfaserbündel über . Wenn eine Darstellung
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und ein étales -Hauptfaserbündel
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gegeben ist, so wird die zugehörige Klasse auf zu , und dasselbe gilt für die Kohomologieklasse
(Vektorbündel in der Zariski- und in der étalen Topologie sind äquivalent),
sodass das durch repräsentierte Vektorbündel auf über trivialisiert.