a) Es sei angenommen, dass es eine nicht injektive Lösungskurve
-
gibt. Dann gibt es Punkte
,
mit
.
Nach
dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung
gibt es ein mit
-
Dies ist ein Widerspruch zu
-
b) Die Hinrichtung folgt aus Teil a). Es sei nun
-
nicht nullstellenfrei. Dann gibt es ein mit
.
Für die konstante Funktion
-
gilt
-
für alle , sodass eine Lösung der Differentialgleichung vorliegt. Diese konstante Lösung ist nicht injektiv.
c) Wir betrachten die Differentialgleichung
-
zum ortsunabhängigen Vektorfeld
-
Bei
liegen Nullstellen vor. Die Lösungen sind die Stammfunktionen zu
, also
. Da dritte Wurzeln im Reellen eindeutig sind, handelt es sich um injektive Funktionen.