Vektorfeld/1/Nullstellenfrei und injektive Lösungen/Aufgabe/Lösung


a) Es sei angenommen, dass es eine nicht injektive Lösungskurve

gibt. Dann gibt es Punkte , mit . Nach dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung gibt es ein mit

Dies ist ein Widerspruch zu

b) Die Hinrichtung folgt aus Teil a). Es sei nun

nicht nullstellenfrei. Dann gibt es ein mit . Für die konstante Funktion

gilt

für alle , sodass eine Lösung der Differentialgleichung vorliegt. Diese konstante Lösung ist nicht injektiv.

c) Wir betrachten die Differentialgleichung

zum ortsunabhängigen Vektorfeld

Bei

liegen Nullstellen vor. Die Lösungen sind die Stammfunktionen zu , also . Da dritte Wurzeln im Reellen eindeutig sind, handelt es sich um injektive Funktionen.