Vektorfeld/Kreis und tangentiale Gerade/Aufgabe

Wir betrachten das zeitunabhängige Vektorfeld

${}F(x,y):=(x^{2}+y^{2}-1){\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}+(x-1){\begin{pmatrix}-y\\x\end{pmatrix}}\,$

auf dem ${}\mathbb {R} ^{2}$.

1. Skizziere das Vektorfeld auf dem Einheitskreis und auf der durch ${}x=1$ gegebenen Geraden.
2. Bestimme eine konstante Lösung der zugehörigen Differentialgleichung.
3. Finde eine Lösung ${}\varphi (t)$ des Anfangswertproblems

   ${}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'=F(x,y)\,$

   mit

   ${}\varphi (0)={\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}\,.$

4. Es sei ${}\theta (t)$ eine Lösung der Differentialgleichung

   ${}z'=\cos \left(z\right)-1\,$

   mit

   ${}z(t)={\frac {\pi }{2}}\,.$

   Drücke damit eine Lösung des Anfangswertproblems

   ${}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'=F(x,y)\,$

   mit

   ${}\varphi (0)={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\,$

   aus.

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