Vektorfeld/Lineare Transformation/(tu+t^3,v^2)/4 3 -3 -2/Beispiel

Wir betrachten die gewöhnliche Differentialgleichung zum Vektorfeld

${}F(t,x,y)=\left(tx+t^{3},y^{2}\right)\,.$

Dieses System ist entkoppelt und besteht aus den beiden einzelnen Gleichungen (in jeweils einer Raumvariablen)

$x'=tx+t^{3}{\text{ und }}y'=y^{2}.$

Eine Lösung der linken Differentialgleichung ist ${}x(t)=-t^{2}-2$, eine Lösung der rechten ist ${}y(t)=-t^{-1}$. Daher ist

${\begin{pmatrix}-t^{2}-2\\-t^{-1}\end{pmatrix}}$

eine Lösung zu ${}F$. Wir betrachten nun die lineare Transformation

${}\varphi ={\begin{pmatrix}4&3\\-3&-2\end{pmatrix}}\,$

mit der inversen Matrix

${}\varphi ^{-1}={\begin{pmatrix}-2&-3\\3&4\end{pmatrix}}\,.$

Das transformierte Vektorfeld ist

${}{\begin{aligned}G(t,u,v)&=\varphi (F(t,\varphi ^{-1}(u,v)))\\&=\varphi (F(t,-2u-3v,3u+4v))\\&=\varphi (t(-2u-3v)+t^{3},(3u+4v)^{2})\\&=\varphi (t(-2u-3v)+t^{3},9u^{2}+24uv+16v^{2})\\&=(4(t(-2u-3v)+t^{3})+3(9u^{2}+24uv+16v^{2}),-3(t(-2u-3v)+t^{3})-2(9u^{2}+24uv+16v^{2}))\\&=(-8tu-12tv+4t^{3}+27u^{2}+72uv+48v^{2},6tu+9tv-3t^{3}-18u^{2}-48uv+32v^{2}).\,\end{aligned}}$

Für die zu ${}G$ gehörende Differentialgleichung

${}{\begin{pmatrix}u'\\v'\end{pmatrix}}=G(t,u,v)\,$

ist gemäß Fakt

${}\varphi ({\begin{pmatrix}-t^{2}-2\\-t^{-1}\end{pmatrix}})={\begin{pmatrix}-4t^{2}-8-3t^{-1}\\3t^{2}+6+2t^{-1}\end{pmatrix}}\,$

eine Lösung.