Vektorfelder/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein reelles Intervall und ${}U\subseteq V$ eine offene Menge. Dann nennt man eine Abbildung

$f\colon I\times U\longrightarrow V,\,(t,x)\longmapsto f(t,x),$

ein Vektorfeld (auf ${}U$).

Die übliche physikalische Interpretation ist hierbei, dass ${}t\in I$ die Zeit repräsentiert, ${}x\in U$ den Ort und ${}f(t,x)\in V$ einen Vektor, der zum Zeitpunkt ${}t$ an den Ortspunkt ${}v$ angeheftet ist und dort eine Richtung vorgibt. Manchmal spricht man auch von einem Richtungsfeld. Im physikalischen Kontext werden die Vektoren als Geschwindigkeitsvektoren, als Kraftvektoren oder als Beschleunigungsvektoren interpretiert.

Wenn das Vektorfeld nicht von ${}t$ abhängt, so spricht man von einem zeitunabhängigen oder autonomen Vektorfeld.