Vektorräume/Duale Abbildung/Gesamtzuordnung/Linearität/Aufgabe/Lösung

Es seien ${}\varphi ,\psi \in \operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}$. Wir müssen

${}(\varphi +\psi )^{*}=\varphi ^{*}+\psi ^{*}\,$

in ${}\operatorname {Hom} _{K}{\left({W}^{*},{V}^{*}\right)}$ zeigen. Es sei dazu ${}f\in {W}^{*}$. Dann ist wegen der Distributivität von linearen Abbildungen

${}{\begin{aligned}(\varphi +\psi )^{*}(f)&=f\circ (\varphi +\psi )\\&=f\circ \varphi +f\circ \psi \\&=\varphi ^{*}(f)+\psi ^{*}(f)\\&=(\varphi ^{*}+\psi ^{*})(f).\end{aligned}}$

Für einen Skalar ${}s\in K$ ist ferner

${}(s\varphi )^{*}(f)=f\circ (s\varphi )=s(f\circ \varphi )=s((\varphi )^{*}(f))\,.$

Zur gelösten Aufgabe