Vektorraum/Addition im Koordinatensystem/Unabhängig von Basis/Aufgabe

Es sei ${}V$ ein ${}K$-Vektorraum, ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis von ${}V$ und

$\psi _{\mathfrak {v}}\colon K^{n}\longrightarrow V,\,{\begin{pmatrix}s_{1}\\\vdots \\s_{n}\end{pmatrix}}\longmapsto s_{1}v_{1}+s_{2}v_{2}+\cdots +s_{n}v_{n},$

die zugehörige bijektive Abbildung im Sinne von Bemerkung. Zeige, dass diese Abbildung die komponentenweise Addition im ${}K^{n}$ in die Vektoraddition in ${}V$ überführt, dass also

${}\psi _{\mathfrak {v}}{\left({\begin{pmatrix}s_{1}\\\vdots \\s_{n}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}t_{1}\\\vdots \\t_{n}\end{pmatrix}}\right)}=\psi _{\mathfrak {v}}{\begin{pmatrix}s_{1}\\\vdots \\s_{n}\end{pmatrix}}+\psi _{\mathfrak {v}}{\begin{pmatrix}t_{1}\\\vdots \\t_{n}\end{pmatrix}}\,$

gilt.

Eine Lösung erstellen