Vektorraum/Basisaustauschlemma/Fakt

Basisaustauschlemma

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$-Vektorraum mit einer Basis ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$. Es sei ${}w\in V$ ein Vektor mit einer Darstellung

${}w=\sum _{i=1}^{n}s_{i}v_{i}\,,$

wobei ${}s_{k}\neq 0$ sei für ein bestimmtes ${}k$.

Dann ist auch die Familie

$v_{1},\ldots ,v_{k-1},w,v_{k+1},\ldots ,v_{n}$

eine Basis von ${}V$.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen