Vektorraum/Endlichdimensional/Skalarprodukt/Adjungierter Endomorphismus/Matrix/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}u_{1},\ldots ,u_{n}$ die Orthonormalbasis und es seien

${}M=(a_{ij})_{ij}\,$

bzw.

${}N=(b_{ij})_{ij}\,$

die Matrizen von ${}\varphi$ bzw. ${}{\hat {\varphi }}$ bezüglich dieser Basis. Dann ist insbesondere

${}\varphi (u_{i})=\sum _{k=1}^{n}a_{ki}u_{k}\,$

und

${}{\hat {\varphi }}(u_{i})=\sum _{k=1}^{n}b_{ki}u_{k}\,.$

Aufgrund der Adjungiertheit gilt die Beziehung

${}{\begin{aligned}a_{ji}&=\sum _{k=1}^{n}a_{ki}\left\langle u_{k},u_{j}\right\rangle \\&=\left\langle \sum _{k=1}^{n}a_{ki}u_{k},u_{j}\right\rangle \\&=\left\langle \varphi (u_{i}),u_{j}\right\rangle \\&=\left\langle u_{i},{\hat {\varphi }}(u_{j})\right\rangle \\&=\left\langle u_{i},\sum _{k=1}^{n}b_{kj}u_{k}\right\rangle \\&=\left\langle u_{i},b_{ij}u_{i}\right\rangle \\&={\overline {b_{ij}}}.\end{aligned}}$

D.h.

${}{{\overline {N}}^{\text{tr}}}=M\,$

und umgekehrt.

Zur bewiesenen Aussage