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Vektorraum/Endlichdimensional/Skalarprodukt/Isometrie/Adjungierter Endomorphismus/Aufgabe/Lösung
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Vektorraum/Endlichdimensional/Skalarprodukt/Isometrie/Adjungierter Endomorphismus/Aufgabe
Unter Verwendung der Isometrieeigenschaft und der Adjungiertheit ist
⟨
(
ψ
∘
φ
∘
ψ
−
1
)
(
w
)
,
z
⟩
=
⟨
ψ
(
φ
(
ψ
−
1
(
w
)
)
)
,
z
⟩
=
⟨
φ
(
ψ
−
1
(
w
)
)
,
ψ
−
1
(
z
)
⟩
=
⟨
ψ
−
1
(
w
)
,
φ
^
(
ψ
−
1
(
z
)
)
⟩
=
⟨
w
,
ψ
(
φ
^
(
ψ
−
1
(
z
)
)
)
⟩
=
⟨
w
,
(
ψ
∘
φ
^
∘
ψ
−
1
)
(
z
)
⟩
,
{\displaystyle {}{\begin{aligned}\left\langle (\psi \circ \varphi \circ \psi ^{-1})(w),z\right\rangle &=\left\langle \psi (\varphi (\psi ^{-1}(w))),z\right\rangle \\&=\left\langle \varphi (\psi ^{-1}(w)),\psi ^{-1}(z)\right\rangle \\&=\left\langle \psi ^{-1}(w),{\hat {\varphi }}(\psi ^{-1}(z))\right\rangle \\&=\left\langle w,\psi ({\hat {\varphi }}(\psi ^{-1}(z)))\right\rangle \\&=\left\langle w,(\psi \circ {\hat {\varphi }}\circ \psi ^{-1})(z)\right\rangle ,\end{aligned}}}
also ist der adjungierte Endomorphismus zu
ψ
∘
φ
∘
ψ
−
1
{\displaystyle {}\psi \circ \varphi \circ \psi ^{-1}}
gleich
ψ
∘
φ
^
∘
ψ
−
1
{\displaystyle {}\psi \circ {\hat {\varphi }}\circ \psi ^{-1}}
ist.
Zur gelösten Aufgabe