Vektorraum/K/Halbnorm/Definition

Halbnorm

Es sei ${}V$ ein ${}{\mathbb {K} }$-Vektorraum. Eine Abbildung

$\Vert {-}\Vert \colon V\longrightarrow \mathbb {R} ,\,v\longmapsto \Vert {v}\Vert ,$

heißt Halbnorm, wenn die folgenden Eigenschaften für alle ${}v,w\in V$ gelten.

1. Es ist ${}\Vert {v}\Vert \geq 0$ für alle ${}v\in V$.
2. Es ist ${}\Vert {0}\Vert =0$.
3. Für ${}\lambda \in {\mathbb {K} }$ und ${}v\in V$ gilt

   ${}\Vert {\lambda v}\Vert =\vert {\lambda }\vert \cdot \Vert {v}\Vert \,.$

4. Für ${}v,w\in V$ gilt

   ${}\Vert {v+w}\Vert \leq \Vert {v}\Vert +\Vert {w}\Vert \,.$