Vektorraum/Offen/Vektorwertige 1-Form/Exakt ist geschlossen/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}\varphi \colon U\rightarrow W$ total differenzierbar mit ${}\omega =d\varphi =\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{i}}}dx_{i}$, was es aufgrund der Exaktheit gibt. Wegen der stetigen Differenzierbarkeit von ${}\omega$ ist ${}\varphi$ zweifach stetig differenzierbar. Es ist

${}d\omega =\sum _{1\leq i<j\leq n}{\left({\frac {\partial }{\partial x_{i}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{j}}}-{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{i}}}\right)}dx_{i}\wedge dx_{j}\,.$

Aufgrund des Satzes von Schwarz sind die Komponentenfunktionen gleich ${}0$.

Zur bewiesenen Aussage