Vektorraum/Orientierung/Dachprodukt/Fakt/Beweis

Beweis

Es seien ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ und ${}w_{1},\ldots ,w_{n}$ zwei Basen von ${}V$ mit der Beziehung

${}{\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}=M{\begin{pmatrix}w_{1}\\\vdots \\w_{n}\end{pmatrix}}\,.$

Dann gilt nach Fakt

${}v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{n}=(\det M)w_{1}\wedge \ldots \wedge w_{n}\,,$

woraus die Wohldefiniertheit der Abbildung und die Aussage folgt.

Zur bewiesenen Aussage